Op zoek naar zekerheid

Sinds de klassieke oudheid waren theoretische wiskunde en filosofie aan elkaar verwant maar op het einde van de negentiende eeuw leek een breuk onvermijdelijk. Op hetzelfde moment dat wiskundigen op zoek waren naar een manier om de wiskunde te formaliseren, was de betrouwbaarheid van de axiomatische wiskunde op de helling komen te staan. In 1829 had Lobatchevski immers aangetoond dat het mogelijk was naast de Euclidische meetkunde een andere te ontwikkelen als men vertrok van het postulaat dat door een punt buiten een rechte een oneindig aantal evenwijdige kunnen getrokken worden. Riemann ging in 1867 nog verder door een meetkunde te ontwerpen waarin geen evenwijdige bestonden. Welke meetkunde was nu de ware? Welke leidde tot zekerheid? Ons gehele kennissysteem, gebaseerd op de Euclidische meetkunde, was onzeker geworden.

Deze ontdekkingen waren ook een streep door de rekening van de metamathematische school van David Hilbert die ernaar streefde alle wetenschappelijke wetten tot wiskundige vergelijkingen te herleiden. [11] Eén van de leerlingen van Hilbert, de talentrijke John von Neumann toonde in 1927 aan dat niet alleen de consistentie van de Euclidische meetkunde twijfelachtig was maar dat het noodzakelijk was de consistentie van alle vormen van wiskunde te bewijzen. [12] Een jaar later publiceerde hij samen met Hilbert een artikel met daarin drie onbeantwoorde vragen waarvan ze overtuigd waren dat het de belangrijkst vragen van die tijd waren met betrekking tot de wiskunde en logica. [13] De eerste was of wiskunde volledig was, met andere woorden of alle ware wiskundige stellingen konden bewezen worden? De tweede vraag was of het wiskundig systeem consistent was? Consistentie betekende hier dat er geen gerechtvaardigde manier bestond waardoor men kon bewijzen dat een valse stelling waar was. De laatste vraag was of wiskunde beslisbaar was, anders geformuleerd of er een gedefinieerde methode bestond die foutloos determineerde of een stelling bewijsbaar was?

Een antwoord op de eerste vraag liet niet lang op zich wachten. In 1930 bewees Kurt Gödel dat de rekenkunde, een onderdeel van de wiskunde, onmogelijk volledig kon zijn omdat er altijd minstens één ware stelling zou bestaan die niet bewezen kon worden. Tijdens zijn betoog toonde Gödel aan dat elk formeel systeem in termen van rekenkunde kon uitgedrukt worden. Dit betekende dat, hoe moeilijk de wiskunde ook werd, ze altijd in cijfers kon worden verwerkt en dat alle onderdelen door optelling en vergelijking konden gemanipuleerd worden. [14] Met deze inbreng opende Gödel de weg voor één van de grootste wiskundigen van zijn tijd: Alan Turing.

10/04/97